Page 102 - Demo

96 Derivimi dhe integrimi Shpejtësia e ndryshimitNjë grimcë elementare lëviz sipas boshtit Oy në mënyrë të tillë që largesa e saj s (cm), nga origjina e koordinatave, jepet me ekuacionin s = t3 + 2t2 + t, ku t është koha e matur në sekonda.a Përdorni v = stdd për të gjetur një shprehje për shpejtësinë e grimcës. (Në çastin t.)b Përdorni a = = vtstdddd22 për të gjetur një shprehje për nxitimin e grimcës. (Në çastin t.)a s t t t =+ + 2 3 2 = ++ 3 4 stt t dd1 2b = ++ 3 4 stt t dd1 2 = +sttdd6 422Përdorni f ´(t) = nat n–1Shembulli 3v(2) = limho0x(2 + h) – x(2)h d.m.th. v(2)= limho0(4 + h) = 4 m/sekPor është e qartë që v(2) është derivati i funksionit x = t2 + 1 në pikën 2. Duke përgjithësuar mund të themi se: Nëse pika materiale kryen lëvizje drejtvizore sipas ligjit x = x(t), ateherë shpejtësia e saj në çastin aështë sa derivati i funksionit x (në lidhje me t) në çastin a. Raporti f(a + h) – f(a)h paraqet shpejtësinë mesatare të ndryshimit të funksionit f në segmentin [a, a + h](tregon sa ndryshon mesatarisht funksioni, kur ndryshorja e pavarur ndryshon me 1 njësi). Derivati f’(a) mund të shihet si shpejtësi e ndryshimit të funksionit f në pikën a. Ai lejon të “fotografojmë” ecurinë e procesit në një çast të caktuar. Sa herë që dëgjojmë të flitet për “shpejtësi të çastit” në ecurinë e një procesi, zakonisht kemi të bëjmë me një derivat. Në përgjithësi, nëse vlerat e një madhësie y lidhen me vlerat e një madhësie x me relacionin funksional y = f(x), ateherë shpejtësia e ndryshimit të madhësisë y, kur x = a, jepet nga derivati i y-it në lidhje me x, në pikën a. ZbatimLe ta zëmë se pika materiale kryen lëvizje drejtvizore sipas ligjit x = x(t). Kemi parë se shpejtësia e lëvizjes së pikës në çastin t është x’(t). Kemi pra V = x’(t). Nxitimi në çastin a (që përfaqëson shpejtësinë e ndryshimit të shpejtësisë v) është sa derivati v’(a) i funksionit V = x’(t) në pikën a d.m.th. sa x”(a).Pra, nxitimi i pikës materiale në lëvizjen drejtvizore është sa derivati i dytë i abshisës në lidhje me kohën.Studimi i monotonisë së funksionit me anë të shenjës së derivatit të tijKanë vend këto dy teorema:1. Nëse funksioni f ka në çdo pikë të intervalit I derivat pozitiv, atëherë ai është rritës në intervalin I.2. Nëse funksioni f ka në çdo pikë të intervalit I derivat negativ, atëherë ai është zbritës në intervalin I.Rrjedhim. Nëse funksioni f e ka derivatin zero në çdo pikë të intervalit I, atëherë ky funksion është konstant në këtë interval.