Page 116 - Demo

110 Derivimi dhe integrimi EkstremumetPërdorni derivatin për të gjetur koordinatat e pikave të ekstremumeve të vijës me ekuacion y x = +x1, x > 0 dhe përcaktoni natyrën e tyre.Të gjendet vlera më e madhe e funksionit f: y = 2x 3 – 3x 2 – 12x + 2 për d d 2 0 x .y x = +x1 kështu që = − yx xdd1 12Në pikën e ekstremumit, yxdd0 kështu që − = x1 12 0Zgjidhim ekuacionin në lidhje me x dhe marrim x = r1por x > 0, kështu që x = 1.Kur x = 1,y = +1 11 2Atëherë, pika e ekstremumit është (1, 2).= − yx xdd1 12 1  –2 yx xdd2 22 3Kur 1, yxdd2122 3 2Derivati i dytë është pozitiv. Si rrjedhim, pika e ekstremumit është minimum.Gjejmë ekstremumet e funksionit. Për çdo x  R kemi f ’(x) = 6x2 – 6x – 12 dhe f’’(x) = 12x – 6.Gjejmë pikat ku f’(x) = 0. Atje kemi 6x 2 – 6x – 12 = 0; x2 – x – 2 = 0. Ky ekuacion ka dy rrënjë reale x1 = –1; x 2 = 2. Pika x = 2 është jashtë bashkësisë së vlera të shqyrtuara të x.Për x = –1, kemi f’’(–1) = 0, pra funksioni ka maksimum.Ky është f(–1) = 2.(–1)3 – 3. (–1)2 – 12. (–1) – 12. Meqenëse ky është ekstremumi i vetëm i funksionit për –2 ≤ x ≤ 0, atëherë ai është vlera më e madhe e funksionit në këtë interval.Zëvendësoni në ekuacionin fillestar. Gjeni derivatin e dytë për të përcaktuar natyrën e pikës së ekstremumit.Shembulli 3 Shembulli 4