Page 121 - Demo

115Shkathtësi dhe aftësi4.6 Integrali i pacaktuarLe të jetë dhënë funksioni y = f(x) i përcaktuar në intervalin I dhe y = F(x) një funksion që në çdo pikë të intervalit I ka derivat të barabartë me f(x).Përkufizim. Funksioni y = F(x) që ka derivat të barabartë me f(x) në çdo pikë të intervalit I quhet primitivë e funksionit y = f(x) në I.Kemi: Fc x f x xIFunksioni y = x është primitivë e funksionit y = 1, sepse xc 1 x RShembulli 1Teoremë. Në qoftë se y = F(x) është primitivë e funksionit y = f x , atëherë të gjitha funksionet e formës y = F(x) + c, ku c kostante, janë primitiva të funksionit y = f(x).Rrjedhim. Në bashkësinë e funksioneve të trajtës y = F x  c bëjnë pjesë të gjitha primitivat e funksionit y = f x .Përkufizim. Shprehja F x  c, quhet integral i pacaktuar i funksionit f x dhe shënohet , lexohet “integrali i pacaktuar i funksionit f(x)”Ndërkaq: ³ shenja e integralit;f x funksioni nën integral; shprehja nën integral;Pra , .Veprimi sipas të cilit nga derivati i funksionit gjejmë funksionin primitiv quhet integrim.Integrimi është veprimi i anasjellë i derivimit.Duke pasur parasysh që rruga është funksion i kohës S = S(t), atëherë shpejtësia e lëvizjes është v(t) = S’(t). Anasjellas marrim që v t dt S t c () ()  ³ (integrali i pacaktuar i shpejtësisë jep rrugën).Duke pasur parasysh që shpejtësia është funksion i kohës v = v(t),kemi që nxitimi a(t) = v’(t). Anasjellas marrim që a t dt v t c () ()  ³ (integrali i pacaktuar i nxitimit jep shpejtësinë).Funksioni y = x2 është primitivë e funksionit y = 2x, sepse x 2x2 c x RFunksioni y = 3x2 është primitivë e funksionit y = 6x. Vëmë re se dhe funksioni 2y xc  3 , c R , është primitivë e funksioni y = 6x, sepse 3x c 6x2 c  . Shembulli 2