Page 128 - Demo

122 Derivimi dhe integrimi Integrali i caktuarPër të gjetur syprinën e zonës ndërmjet një vije dhe boshtit Ox, mund të përdoret integrali i caktuar.Integrali i caktuar shënohet {f( ) x ab dx.b quhet kufiri i sipërm dhe a kufiri i poshtëm.Marrim një funksion të vazhdueshëm y = f(x) në një interval të tillë, që të gjitha pikat e vijës, në këtë interval, të gjenden mbi boshtin Ox. Zona është e kufizuar nga vija y = f(x), boshti Ox dhe drejtëzat x = a dhe x = b, ku a < b. Shënojmë S(x) syprinën e kësaj zone.S(a) do të jetë syprina e zonës që kufizohet nga boshti Ox, grafiku dhe drejtëzat me abshisa x = 0 dhe x = a.S(b) do të jetë syprina e zonës që kufizohet nga boshti Ox, grafiku dhe drejtëzat me abshisa x = 0 dhe x = b.Për rrjedhojë, syprina e zonës që kufizohet nga boshti Ox, grafiku dhe drejtëzat x = a dhe x = b është S(b)  S(a).Marrim një shtesë mjaft të vogël të x dhe shënojmë me GS ndryshesën e syprinës që korrespondon me ndryshesën e x.Përdorim simbolikën e Lajbnicit, ku Gx paraqet ndryshesën e vogël të xdhe Gy paraqet ndryshesën korresponduese të y.Syprina e zonës së vogël ndërmjet drejtëzave vertikale, të hequra në pikat me abshisa x dhe x + Gx(zona e hijezuar) është shënuar me GS.⇒ δ ≤δ ≤ +δ δ yx S y y x ( )Pjesëtojmë me Gx dhe marrim ⇒ ≤ ( ) δδ y ≤ +δ Sxy yNëse Gx i afrohet pambarimisht zeros (shkon në zero) atëherë kemi:≤ ( ) δδ ≤ +δ ⇒ ≤ ≤δ→ δ→ySxyy ySxlim lim ydx x 0 0 dPra, y = ose f(x) = . f(x) është derivati i funksionit S = S(x). Prandaj, integrali i caktuar ( )baf x dx ³ mund të shkruhet, sipas teoremës themelore, si ndryshesa S(b)  S(a). Siç treguam më lart, ndryshesa S(b)  S(a) jep syprinën e zonës që kufizohet në anë prej drejtëzave x = a dhe x = b.Pra, syprina e zonës që gjendet ndërmjet vijës me ekuacion y = f(x) (kur kjo ndodhet mbi boshtin Ox), boshtit Ox dhe drejtëzave x = a dhe x = b, jepet me formulën S = ( )baf x dx ³ = S(b) S(a).Po ta zmadhoni diagramin, mund të shihni një pjesë të vogël të zonës, të kufizuar ndërmjet drejtëzave vertikale të hequra në pikat me abshisa x dhe x +Gx.Kujtoni δ = δδ = δ → δ→y yxyxlim 0 dhe lim dx x 0 0 dMbani mend