Page 236 - Demo

230 PërgjigjetPërgjigjetKreu 1Ushtrime 1.1A Shkathtësi dhe aftësi2 Le të jenë numrat 2m + 1 dhe 2n + 1. 2m + 1 + 2n + 1 = 2(m + n + 1); m + n + 1 = k është numër i plotë. Shuma është 2k, pra është numër çift.3 Le të jetë numri më i vogël tek 2m + 1. Numri tjetër tek pas tij është 2m + 3. (2m + 1)(2m + 3) = 4m2 + 8m + 3 = 4(m2 + 2m + 1) – 1. m2 + 2m + 1 është numër i plotë, kështu që prodhimi i mësipërm është një njësi më i vogël se një shumëfish i numrit 4.4 Le të jenë numrat e plotë m, m + 1, m + 2. Mesatarja = mm m 1 2   3 3 3 m 3 = m + 1, i cili është numri i mesit.5 a Le të jenë numrat e plotë të njëpasnjëshëm m dhe m + 1. m2 + (m + 1)2 = 2m2 + 2m + 1. Dy kufizat e para janë çift dhe kufiza e tretë është tek, kështu që shuma e tyre është tek. b Le të jenë numrat e plotë çift të njëpasnjëshëm 2m dhe 2m + 2. (2m)2 + (2m + 2)2 = 8m2 + 8m + 4 = 4(2m2 + 2m + 1).4 është faktor në shprehjen e përftuar, kështu që shuma e katrorëve të dy numrave çift të njëpasnjëshëm është shumëfish i numrit 4.6 Le të jenë numrat e plotë të njëpasnjëshëm m, m + 1, m + 2 dhe m + 3. m + m + 1 + m + 2 + m + 3 = 4m + 6 = 2(2m + 3).2 është çift; 2m është çift, kështu që 2m + 3 është tek. Prandaj kjo shumë ka dy faktorë, njërin tek dhe tjetrin çift.7 Le të jenë numrat m dhe n. (m + n)2 = m2 + 2mn + n2, ose (m2 + n2) + 2mn. Katrori i shumës së dy numrave është 2mnmë shumë se shuma e katrorëve, pasi në qoftë se m dhe njanë pozitivë, atëhere edhe mn është pozitiv.8 Le të jenë a brinjët e barabarta. Hipotenuza është a a 2 2  a 2, kështu që perimetri është 2a  a 2Për derisa 2>1, atëherë perimetri është më i madh se trefishi i gjatësisë së njërës prej brinjëve të barabarta.9 Në qoftë se shuma është sa prodhimi, atëhere a + b = ab. Kështu që b – 2 + b = (b – 2)b э 2b – 2 = b2 – 2b э b2 – 4b + 2. Ky trinom i fuqisë së dytë nuk mund të faktorizohet, prandaj b nuk mund të jetë numër i plotë. Rrjedhimisht, meqë a = b – 2, atëhere edhe a nuk mund të jetë numër i plotë.10 Në qoftë se (5y)2 është çift, atëhere 5y është çift dhe meqë 5 është tek, atëhere y duhet të jetë çift (që 5y të jetë çift).12 Le të jetë m2 një numër katror. m = 10p + k, ku p dhe k janë numra të plotë, 0 d k d 9. Në qoftë se m = 10p, atëhere m2 = 100p2 që mbaron me 0. Në qoftë se m = 10p + 1 atëhere m2 = (10p + 1)2 = 100p2 + 20p + 1 i cili mbaron me 1. Në qoftë se m = 10p + 2, atëhere m2 = (10p + 2)2 = 100p2 + 40p + 4, i cili mbaron me 4... Në qoftë se m = 10p + 9, atëhere m2 = (10p + 9)2 = 100p2 + 180p + 81, i cili mbaron me 1. Rrjedhimisht të gjithë katrorët e numrave nuk mund të mbarojnë me 2, 3, 7 ose 8.Ushtrime 1.1B Arsyetim dhe zgjidhje problemore1 a Rasti 1: P është 2, pra është çift. PQ është prodhim i një numri çift me një numër tek, pra është çift.Rasti 2: P është tek. PQ është prodhim i një numri tek me një numër tek, pra është tek.Genti kishte të drejtë.b Rasti 1: P është 2, kështu që është çift dhe Q + 1 është çift. P(Q + 1) është prodhim i një numri çift me një numër çift, pra është çift.Rasti 2: P është tek. P(Q + 1) është prodhim i një numri tek me një numër çift, pra është çift.Suzana ka të drejtë në këtë rast.2 99 = 3 · 33 dhe 33 nuk është numër i thjeshtë. Fjalia është e gabuar. 3 91 – 1 = 9 – 1 = 8, që është 8 · 1; 92 – 1 = 81 – 1 = 80, që është 8 · 10; 93 – 1 = 729 – 1 = 728, që është 8 · 91; 94 - 1 = 6561 – 1= 6 560, që është 8 · 820; 95 – 1 = 59 049 – 1 = 59 048, që është 8 · 7381; 96 – 1 = 531 441 – 1 = 531 440, që është 8 · 66 430. Pra vlera e shprehjes 9n – 1 plotpjesëtohet me 8 për 1 d n d 6.4 Trekëndëshi barabrinjës nuk është këndgjerë. Trekëndëshi këndrejtë nuk është këndgjerë.5 Një gjashtëkëndësh i mysët mund të ndahet në 4 trekëndësha. Shuma e këndeve të brendshme të trekëndëshit është 180°. Kështu, shuma e këndeve të brendshme të një gjashtëkëndëshi të mysët është 4 · 180°= 720°. 6 E gabuar. Një romb i ka brinjët e barabarta, por ai nuk është katror.7 Një n-këndësh i mysët mund të ndahet në n – 2 trekëndësha. Shuma e këndeve të brendshme të trekëndëshit është 180°. (n – 2) · 180°= 180°(n – 2). Kështu shuma e këndeve të brendshme të një n-këndëshi të mysët është 180°(n – 2).8 52 = (–5)2 por 5 z – 5.9 Katrori i brinjës së panjohur është (2s + a)2 – (2s – a)2 = 4as + 4as = 8as, rrjedhimisht brinja e panjohur është shumëfish i numrit 8.10 ⋅11 2 11 1; ⋅11 2  ⋅12 3 12  16 3 1 6 46 23; ⋅11 2  ⋅12 3  ⋅13 4 12  16  112 6 2 1  12 912 34; ⋅11 2  ⋅12 3  ⋅13 4  ⋅14 5 12  16  112  120 30 10 5 3  60 4860 45; ⋅11 2  ⋅12 3  ⋅13 4  ⋅14 5  ⋅15 6 12  16  112  120  130  30 10 5 3 260506056+ +++ = =Kështu që ⋅11 2  ⋅12 3  ⋅13 4 .....  n n1 ( 1) ⋅ + nn 1për 1 d n d 511 Le të jetë X një numër dyshifror me shifrën e dhjetësheve ydhe shifrën e njësheve z. Rrjedhimisht X = 10y + z = 9y + (y + z). Nga të dhënat e ushtrimit, shuma e shifrave plotpjesëtohet me 3, d.m.th., y + z = 3P. Kështu X = 9y + 3P = 3(3y + P) dhe rrjedhimisht X është shumëfish i numrit 3.