Page 93 - Demo

87Kuptimi gjeometrik i derivatitLe të kemi funksionin f të përcaktuar në intervalin I dhe le të jenë a, a + h dy pika të intervalit I. Funksionin f e supozojmë të derivueshëm në pikën a. Le të jenë A dhe M pikat e grafikut të funksionit f, me abshisa përkatësisht a dhe a + h (figura përbri). Ordinatat e tyre janë yA = f(a)dhe yM = f(a + h). Koeficienti këndor i drejtëzës A është mAM = YM – YA XM – XA= f(a + h) – f(a) (a + h) – aPra, mAM = f(a + h) – f(a) hMe ndryshimin e h, ndryshon pozicioni i pikës M, pra edhe pozicioni i drejtëzës (AM). Sa më afër zeros të jetë h, aq më afër pikës A është pika M dhe aq më tepër pozicioni i (AM) i përgjigjet idesë që ekziston për tangjenten (kjo përfytyrohet si “pozicioni kufi” i prerësve (AM), kur pika M i afrohet pambarimisht pikës A). Prandaj është i natyrshëm ky përkufizim: Përkufizim. Tangjente në pikën A të grafikut quhet drejtëza që kalon nga A dhe ka për koeficient këndor limitin e koeficientit këndor të prerëses (AM), kur ho0. Kështu, koeficienti këndor i tangjentes në pikën A është m = limho0f(a + h) – f(a) hd.m.th. m = f’(a). Duke përmbledhur, themi që kuptimi gjeometrik i derivatit është: Derivati i funksionit f në pikën a, kur ai ekziston, është i barabartë me koeficientin këndor të tangjentes ndaj grafikut të funksionit f në pikën A me abshisë a.Koeficienti këndor i tangjentes në pikën A quhet ndryshe pjerrësi e grafikut në pikën A.Të gjendet derivati i funksionit f: y = x3 në pikën 2. Të gjendet koeficienti këndor (pjerrësia) për tangjenten e grafikut të funksionit f: y = x3 në pikën e tij me abshisë 2. Kemi gjetur f’(2) = 12. Prandaj koeficienti këndor i i tangjentes është 12. Shembulli 1 Shembulli 2ayAαM0 a + hgj f y p1. f(2) = 23 = 8. 2. f(2 + h) = (2 + h)3 = 23 + 3 · 22 · h + 3 · 2 h2 + h3 = 8 + 12h + 6h2 + h33. f(2 + h) – f(2) = 12 h + 6 h2 + h34. f(2 + h) – f(2) h = 12 + 6h2 – h3h = 12 + 6h + h25. limh o of(2 + h) – f(2) h = limh o o (12 + 6h + h2) = 12. Pra, f’(2) = 12.