Page 100 - Demo

94 Derivatet 2 Derivimi i funksionit të përbërë (rregulli zinxhir)Shpesh na duhet të derivojmë funksionin e një funksioni, që njihet si funksioni i përbërë. Kjo mund të bëhet duke përdorur “rregullin zinxhir”.Jepet funksioni y = sin x2. Themi që y është një funksion i x, por në qoftë se marrim u = x2, atëherë mund të themi që y është një funksion i u dhe u është funksion i x.Rregulli zinxhir thotë që derivati i funksionit të përbërë gjendet me formulën yxyuuxdddddd = ⋅Mbani menda Gjeni derivatin e funksionit y = sin x2.b Gjeni derivatin e funksionit y cos xa y sin u u x2yudd cos u cos x2 uxdd 2xs 2 x x 2 2 =⋅= ⋅= yxyuuxx xddddddco 2 cosb y u u 12 u cos xyudd ux121cos– 12 uxdd sin x=⋅= (− =− yxyuux xx) xxdddddd1cossinsincosShprehni y si një funksion të u dhe u si një funksion të x.Gjeni yudd dhe uxdd dhe shprehini të dyja në lidhje me x.Zbatoni rregullin zinxhir dhe thjeshtoni.Rregullin zinxhir mund ta shkruani edhe duke përdorur një simbolikë pak më ndryshe.Në qoftë se përcaktoni një funksion të përbërë si y = f(g(x)), atëherë yxdd f c(g(x)) ˜ gc(x).Mbani mendGjeni derivatin e funksionit y = (3x + 1)3.y = f(u) dhe u = g(x), ku f(u) = u3 dhe g(x) = 3x2 + 1 f ’(u) = 3u2 dhe g’(x) = 6xyxdd fc(g(x)) ˜ gc(x)= 3(3x2 + 1)2 ¸ 6x = 18x(3x2 + 1)2Ky është një funksion i përbërë, pra përcaktoni g(x).Derivoni secilin prej funksioneve dhe më pas shumëzojini me njëri-tjetrin.Vini re që mund të arrini në të njëjtin përfundim, duke zbërthyer fillimisht kllapat dhe duke derivuar çdo kufizë.4.5Derivimi i funksionit të përbërë (rregulli zinxhir)Me fjalë të tjera, y = f(u) dhe u = g(x).Përcaktoni secilin nga funksionet dhe derivoni.Zbatoni rregullin zinxhir dhe thjeshtoni.Shkathtësi dhe aftësiSiç do ta shihni në Shembullin 2, në situata të caktuara, rregulli zinxhir është një mënyrë shumë më e përshtatshme për llogaritjen e derivateve.Shembulli 1 Shembulli 2