Page 120 - Demo

114 Integralet Integrimi me pjesëIntegrimi me pjesë është një teknikë që përdoret kur duhet të gjejmë integralin e prodhimit të dy funksioneve. Një formulë për integrimin me pjesë mund të gjendet duke përdorur rregullin e derivimit të prodhimit të dy funksioneve.Përdorim rregullin për derivimin e prodhimit të dy funksioneve, = +xuv vuxuvxdd ( ) dddd , ku u dhe v janë funksione të x.Integrojmë të dyja anët në lidhje me x dhe marrim ∫ ∫ ∫ = +xuv x vuxx uvxxdd ( )d ddd ddd . Pas shndërrimeve, kemi ∫ ∫ u = − vxx uv vuxxddd ddd .Për të integruar me pjesë, mendojeni integralin të përbërë nga dy pjesë, u dhe vxdd dhe përdorni formulën ∫ ∫ u = − vxx uv vuxxddd dddMbani mendShkathtësi dhe aftësi5.3 Integrimi me pjesëNjehsoni integralet: a {2 cos d x xx b {x xx ln d 2a Shënojmë u = 2x dhe vxdd cos x⇒ = uxdd2 ⇒= = ∫ v xx x cos d sin∫ ∫ u = − vxx uv vuxxddd dddn s x x ∫ ∫ 2 cos d 2 si in 2d x xx x x = −⋅∫ = − 2 sin 2 sin d x x xx= ++ 2 sin 2cos x x xcb Shënojmë u ln x dhe vxdd x 2⇒ = uxddx1⇒ ∫ v xx x = = d 132 3∫ ∫ u = − vxx uv vuxxddd dddx x d l x x 2 3 x x ∫ ∫ ⋅=⋅ ⎛⎝⎞⎠ − ⋅ ⎛⎝⎞x⎠ ln n x13131 d 3∫ = − x x xx13ln 13d 3 2= −+ xx xc13ln 193 3Zakonisht u zgjidhet të jetë funksioni që pas derivimit, thjeshtohet më shumë.Derivoni, që të gjeni uxdd dhe integroni që të gjeni v.Në këtë rast, dy funksionet janë 2xdhe cos x. Ne dimë që 2x bëhet më i thjeshtë kur derivohet, prandaj atë do ta përdorim si u.Derivoni për të gjetur uxdd dhe integroni për të gjetur v.Megjithëse x2 bëhet më i thjeshtë pasi derivohet, ju nuk keni mësuar akoma si të integroni ln x, prandaj përdorni u = ln x.Zëvendësoni u ln x, uxdd x1, v x133 dhe vxdd x 2 në formulë dhe integroni.Zëvendësoni në formulë u = 2x, uxdd 2, v = sinx dhe vxdd cos x dhe integroni.Shembulli 1