Page 124 - Demo

118 Integralet Integrimi i funksioneve racionaleTashmë dimë si të zbërthejmë një funksion racional të trajtës  px q( )( ) ax b cx d në thyesa elementare të trajtës Aax bBcx d, me anë të zgjedhjeve të duhura për A dhe B. Shpesh kjo teknikë do të na ndihmojë edhe gjatë integrimit të funksioneve racionale. Në trajtën fillestare nuk ka ndonjë integral tabele lehtësisht të dukshëm. Megjithatë, pasi kthehet në shumë thyesash elementare, secila prej këtyre pjesëve kthehet në një integral tabele. Metoda mund të zgjerohet për të përfshirë edhe thyesa të tipit px qx r( )( ) ax b cx d ex f ( )2   .Shkathtësi dhe aftësi5.4 Integrimi i funksioneve racionaleNjehsoni ∫ ++ +xx xx1( 2)( 3)d .Kemi ( )( )++ + = +++xx xAxBx123 2 3x += + + + 1 ( 3) ( 2) Ax BxDuke krahasuar koeficientet pranë x, kemi: Ax + Bx = x, pra A + B = 1Duke krahasuar koeficientet konstante, kemi: 3A + 2B = 1A 1 dhe B 2∫ ∫ ∫ ++ + = − +++xx xxxxxx1( 2)( 3)d 12d 23d=− + + + + ln 2 2 ln 3 x xc= + +− + ln 2ln 3 ln 2 kx xk xxln 322= ++⎛⎝⎜⎞⎠⎟Shprehni thyesën nën integral, duke përdorur thyesat elementare dhe më pas shumëzoni me (x  2)(x  3).Zgjidhni sistemin e ekuacioneve.Zëvendësoni vlerat e gjetura për A dhe B për të përftuar thyesa elementare dhe për të integruar.Ndonjëherë mund të jetë e dobishme që konstantja e integrimit të shprehet si logaritëm.Njehsoni ∫ +− +xxx xx2 1( 1)(3 1)d .( )( )+− += + − ++xxx xAxBxCx2 113 1 1 3 12 1 ( 1)(3 1) (3 1) ( 1) x A x x Bx x Cx x += − + + + + −Duke krahasuar koeficientet pranë x2, kemi: 3A + 3B + C= 0 Duke krahasuar koeficientet pranë x, kemi: 2A + B – C = 2 Duke krahasuar koeficientet konstante, kemi: A = 1A = 1 prandaj 3B + C = 3 dhe B = C A 1, B 34 dhe C 34Shprehni thyesën nën integral me anë të thyesave elementare dhe më pas shumëzoni me x(x – 1)(3x + 1).Zëvendësoni A = 1 në sistemin e ekuacioneve.Zëvendësoni B = C në 3B + C = 3, për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.Shembulli 1 Shembulli 2