Page 48 - Demo

42 Vargjet Progresioni gjeometrik2.3 Progresioni gjeometrikShkathtësi dhe aftësiPër shembull, vargu 3, 6, 12, 24 është progresion gjeometrik. Çdo kufizë është përftuar nga shumëzimi i kufizës paraardhëse me 2. Në këtë shembull, numri 2 quhet herës i progresionit. Herësi është uu1262 32. Kjo do të thotë që uu2 nn1 = + , për çdo n.Në qoftë se një progresion gjeometrik ka kufizën e parë u1 dhe herësin r (të dyja të ndryshme nga zero), atëherë:• për çdo n dhe r, kemi ruunn1 = + .• kufizat janë u1; u1 · r; u1 · r2; u1 · r3; …• kufiza e përgjithshme e vargut është un = u1 · rn– 1. Për shembull, kufiza e tretë është u1 · r3 – 1, ose u1 · r2.a Gjeni kufizën e përgjithshme të progresionit gjeometrik 2, 6, 18, 54, …b Gjeni kufizën e 10-të të progresionit.Shuma e n kufizave të para të progresionit gjeometrik shënohet Sn.Për shembull, për progresionin gjeometrik 3 + 6 + 12 + 24 + … kemi:S2 = 3 + 6 = 9 dhe S3 = 3 + 6 + 12 = 21Një varg është progresion gjeometrik në qoftë se çdo kufizë e tij është e barabartë me prodhimin e kufizës paraardhëse me një numër të ndryshëm nga zero, që është i njëjtë për të gjitha kufizat e vargut.Të gjejmë një formulë për shumën Sn. Sn= u1 + u1r + u1r2 + … + u1rn–2 + u1rn–1 [1]Sn · r = (u1 + u1r + u1r2 + … + u1rn–2 + u1rn–1) · rSn · r = u1r + u1r2 + u1r3 + … + u1rn–1 + u1rn [2]Nga barazimi [2] zbresim barazimin [1]. Kemi:Sn(r – 1) = u1rn – u1 pra, = −− S u1 rr( 1)1 nn për rv1.Shembulli 1Mbani mendMbani mendMbani menda Kufiza e parë u1 = 2, herësi r uu21 623.Kufiza e përgjithshme është un = u1 · rn – 1 = 2 · 3n – 1.b Kur n = 10, u10 = 2 · 310 – 1 = 39 366.