Page 7 - Demo
P. 7
137a Kufi za e parë u1 është 3. Diferenca d e progresionit është 8 – 3 = 5.Kufi za e përgjithshme është un = u1 + (n – 1)d = 3 + (n – 1) · 5 = 5n – 2. b Kur n = 50, kemi u50 = 5 · 50 – 2 = 248. 2.2 Progresioni aritmetikShkathtësi dhe aftësiPër shembull, vargu 4, 7, 10, 13, …është progresion aritmetik. Çdo kufi zë përftohet si shumë e kufi zës paraardhëse me 3.Në këtë shembull, konstantja 3 quhet diferencë e vargut. Diferenca u3 – u2 = 10 – 7 = 3.Kjo do të thotë që diferenca un +1 – un = 3, pra e njëjtë për të gjitha vlerat e n–së.a Gjeni kufi zën e përgjithshme të progresionit aritmetik 3, 8, 13, 18, ….b Prej këtej, gjeni kufi zën e 50-të të këtij progresioni.d u2 – u1Zëvendësoni u1 dhe d në formulën e kufi zës së përgjithshme.Zëvendësoni n = 50.Një varg është progresion aritmetik në qoftë se çdo kufi zë është e barabartë me shumën e kufi zës paraardhëse të saj me një konstante, e cila është e njëjtë për të gjithë kufi zat e vargut.Në qoftë se progresioni aritmetik ka kufi zën e parë u1 dhe diferencën d, atëherë:• për çdo n, kemi d = un + 1–un;• kufi zat janë u1 , u1 + d, u1 + 2d, u1 + 3d, …;• kufi za e përgjithshme e progresionit është un = u1 + (n– 1)d. Për shembull, kufi za e katërt është u1 + (4 – 1)d ose u1 + 3d.• në qoftë se d > 0, progresioni është rritës dhe në qoftë se d < 0, progresioni është zbritës.Shuma e R kufi zave të para të progresionit aritmetik shënohet Sn.Për shembull, për progresionin aritmetik 4, 7, 10, 13,… kemi:S2 = 4 + 7 = 11 dhe S3 = 4 + 7 + 10 = 21.Të gjejmë një formulë për shumën Sn. Shkruani Sn në dy mënyra: herën e parë, duke fi lluar me u1 dhe duke mbledhur kufi zat deri tek un. Herën e dytë, duke fi lluar me un dhe duke mbledhur kufi zat deri tek u1. Më pas, mbledhim anë për anë të dyja Sn .Su u u u u ... n nn = + + ++ + 12 3 1−S uu u u u ... nn n n = + + ++ + 1 2 21↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓− −S + = + + + + + ++ + + + S uu uu uu u u u u −− − ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) nn n n n n n 1 2 1 3 2 12 1Shembulli 1Mbani mendMbani mend Kufi za e përgjithshme është un = u1 + (n– 1)d.u3 = u1 + 2d pra u1 + 2d = 15 [1]u7 = u1 + 6d pra u1 + 6d = 31 [2] d = 4, u1 = 7 = ⋅ ⎡⎣2 7+ −⋅ ) 4⎤⎦ S 12 10 ⋅10 (10 1 =250Për të zgjidhur problema me anë të progresionit aritmetik:1 përcaktoni ndryshore të tilla si kufi za e parë u1, kufi za e fundit un dhe diferenca d, duke përdorur informacionin e dhënë në pyetje;2 gjeni vlerat e panjohura;3 përdorni formulat e duhura dhe jepni përgjigjen në varësi të problemës, duke rrumbullakosur në mënyrë të përshtatshme.Arsyetim dhe zgjidhje problemoreKufi za e tretë e një progresioni aritmetik është 15 dhe kufi za e shtatë është 31. Gjeni shumën e 10 kufi zave të para të këtij progresioni.Zgjidhni sistemin e ekuacioneve [1] dhe [2].Përdorni formulën = 12 S n n [2u1 + (n 1)d].Formoni ekuacionet për të gjetur kufi zën e parë u1 dhe diferencën d.123Shembulli 3 Hapat 1 Gjeni numrin e kufizave të progresionit 15, 3, …,117. 2 Zgjidhni ekuacionin 2 ¸22 ¸23¸¸¸2n = 2120.3 Në një progresion aritmetik jepet Sn = 3n2 + 4n. Gjeni un. 4 Në një progresion aritmetik jepen u1= 8; d = 32 dhe Sn=106. Gjeni n, un dhe u5.5 Duke filluar nga cili tregues, kufizat e vargut un = n2 16 janë:a pozitive;b më të vogla se 200?6 Jepet vargu me kufizë të përgjithshme un = 4n 1. a A është progresion aritmetik ky varg?b Gjeni S30.c Gjeni shumën u21+ u22 + ... + u30.7 Gjeni shumën e numrave natyrorë dyshifrorë, të cilët janë:a shumëfisha të numrit 3;b shumëfisha të numrit 4;c shumëfisha të numrit 5.Sfidë19 Pa përdorur makinën llogaritëse, gjeni lidhjen ndërmjet dy shumave 1 + 2 + 3 + … + n dhe 13 + 23 + 33 + … + n3, dhe prej këtej gjeni vlerën e plotë pozitive n, për të cilën 13 + 23 + 33 + … + n3 = 90 000.41Rreth këtij tekstiKy tekst është hartuar veçanërisht për nxënësit e vitit të fundit të shkollës së mesme. Ai është shkruar nga një grup autorësh dhe mësuesish me përvojë, si dhe është i pajisur me ushtrime, shpjegime e me materiale shtesë, që ndihmojnë në përthithjen sa më të mirë të lëndës.Ushtrimet me emërtimin Sfidë kanë një nivel të lartë vështirësie. Përgjigjet e pjesës më të madhe të ushtrimeve gjenden në fund të librit. Seksionet e titulluara Hapatndihmojnë në ndërtimin e teknikave të zgjidhjes së problemave. Çdo mësim përbëhet nga dy pjesë. Fillohet me njohuritë bazë, të cilat paraqiten në pjesën Shkathtësi dhe aftësi dhe, më pas, vazhdohet me ndërtimin e teknikave të zgjidhjes në pjesën Arsyetim dhe zgjidhje problemore.Shembujt e zgjidhur japin një zgjidhje model të shoqëruar me komente. Numrat e qarkuar tregojnë mënyrën sesi lidhet secili veprim i zbatuar në shembull meHapat e lartpërmendur.
