Page 83 - Demo

77y x3  3x2  2x yxdd 3x2  6x  2 yxdd22 6x  6a Në x 0, yxdd22 0  6 6yxdd22 fi 0, pra vija është e mysët.b Në x 1, yxdd22 6  6 0 dhe yxdd 3  6  2 1 Pra, kjo është një pikë infleksioni në pjesën zbritëse të vijës.Përdorni rregullat e mësipërme për të përshkruar formën e vijës y = x3 – 3x2 + 2x në pikat e mëposhtme.a (0, 0) b (1, 0) c (2, 0)Gjeni derivatin e parë dhe të dytë. Gjeni vlerën e derivatit të dytë në këtë pikë.Ndërmjet vlerave x = 1 dhe x = 2, grafiku ndryshon nga i mysët në i lugët, që do të thotë se ndryshon përkulshmëria. Pika në të cilën vija ndryshon përkulshmërinë quhet pikë infleksioni. Në pikën e infleksionit, derivati i parë mund të marrë çfarëdolloj vlere, ndërsa derivati i dytë është zero. Megjithatë, e anasjella nuk është e vërtetë: pra, në qoftë se derivati i dytë është zero, kjo nuk do të thotë domosdoshmërisht që ajo pikë është pikë infleksioni. Në këtë rast, duhet kontrolluar derivati i parë në atë pikë. Në qoftë se derivati i parë në atë pikë nuk është zero, atëherë kemi një pikë infleksioni. Në qoftë se derivati i parë është zero, në mënyrë që ajo të jetë pikë infleksioni, duhet të kontrolloni nëse ai ka të njëjtën shenjë në të dy anët e pikës. Ose, që një pikë të jetë pikë infleksioni, derivati i dytë duhet të ketë shenja të ndryshme në të dy anët e saj (që të tregojë ndryshim në përkulshmëri).Tabela e mëposhtme tregon se çfarë mund të nxirret si përfundim nga vlera e derivatit të parë dhe të dytë.Shembull vije Për vlera më të vogla se x Në pikat ekstremume ose pikat e infleksionitPër vlera më të mëdha se xMinimumyxddfi 0, yxdd22 ! 0I lugëtyxdd 0, yxdd22 ! 0I lugëtyxdd! 0, yxdd22 ! 0I lugëtMaksimum yxdd! 0, yxdd22 fi 0I mysëtyxdd 0, yxdd22 fi 0I mysëtyxddfi 0, yxdd22 fi 0I mysëtyxdd! 0, yxdd22 fi 0I mysëtyxddt 0, yxdd22 0Pikë infleksioniyxdd! 0, yxdd22 ! 0I lugëtyxddfi 0, yxdd22 ! 0I lugëtyxddd 0, yxdd22 0Pikë infleksioniyxddfi 0, yxdd22 fi 0I mysëtShembulli 1Mbani mendDuke ditur që dd022yx, gjeni vlerën e derivatit të parë në këtë pikë. Meqë derivati i parë nuk është zero, mund të arrihet në përfundimin se kjo është një pikë infleksioni.Në pikat e infleksionit, yxdd22 0.Për të përcaktuar natyrën e këtyre pikave, përveç këtij kushti, duhet të plotësohen edhe kushte të tjera.