Page 88 - Demo

f( ) sin 2cos xx x = + f ( ) cos 2sin ′ x xx = −′⎛ π⎝⎞⎠ = π − π f3cos32sin3 122 32 = − ⋅ = − 123Në qoftë se y = sin x, atëherë yxxddcos . Në qoftë se y = cos x, atëherë yxxdd = −sin .82 Derivatet 2 Funksionet trigonometrikeTashmë dimë se kur punohet në radianë, për vlera të vogla të x, sin x ≈ x dhe 1 2 cos 12x x |  . Këto njihen si përafrime për këndet e vogla. Rrjedhimisht, mund të arrihet në dy përfundimet e mëposhtme.lim sin10xx = x→dhe lim1 cos00xx− = x→Duke përdorur këto përfundime dhe formulën për sinusin dhe kosinusin e shumës së këndeve, mund të gjejmë derivatin e sin x dhe cos x, nëpërmjet përkufizimit të derivatit.VërtetimJepet f(x) = sin x, atëherë ′ = + −→ xxh xh f ( ) lim sin( ) sinh 0.Duke zbatuar formulën e sinusit të shumës së këndeve kemi,′ = + −→xx h xh xh f ( ) lim sin cos cos sin sinh 0 = − +→x h xhhlim sin (cos 1) cos sinh 0= − + → → xhhxhhlimsin (cos 1) limcos sinh h 0 0 = − + → →xhhxhhsin lim (cos 1) cos lim sinh h 0 0Duke përdorur përfundimet e marra nga përafrimet për kënde të vogla, kemi: f ’(x) = (sin x)(0) + (cos x)(1) = cos xPërfundimisht f ’(x) = cos x.Shkathtësi dhe aftësi4.2 Funksionet trigonometrikeDuke ditur që f(x) = sin x + 2cos x, gjeni vlerën e saktë të f 3 ′⎛ π⎝⎜ ⎞⎠⎟. Argumentoni zgjidhjen.Gjatë derivimit të funksioneve trigonometrike, duhet të punohet në radianë.Gjeni derivatin e parë dhe derivatin e dytë të funksionit y = 2x3 + 3sin x.yx x = + 2 3sin 3 = + yxx xdd6 3cos 2 = − yxx xdd12 3sin22Për të gjetur derivatin e dytë, duhet derivuar përsëri, kështu që zbatojmë xdd cos x sin x.Zbatoni xdd sin x cos xI rikthehemi mësimit 3.1 për të kujtuar trekëndëshat e veçantë, të cilët janë të dobishëm kur punohet me këndet në radianë.Shembulli 1 Shembulli 2Mbani mendMbani mend